Matematiksel Kanıt Neden Sosyal Bir Sözleşmedir?

Sayı teorisyeni Andrew Granville ile matematiğin gerçekte ne olduğu ve nesnelliğe neden hiçbir zaman tam olarak ulaşılamadığı üzerine.

2012 yılında matematikçi Shinichi Mochizuki, toplama ve çarpma işlemleri arasındaki ilişkiye dair sayılar teorisinde önemli bir boşluk olan abc varsayımını çözdüğünü iddia etti. Yalnızca bir sorun vardı: 500 sayfadan daha uzun olan kanıtı tamamen anlaşılmazdı. Neredeyse tüm matematikçilerin anlamlandırmayı imkansız bulduğu yeni tanımlar, gösterimler ve teorilerden oluşan bir karmaşaya dayanıyordu. Yıllar sonra, iki matematikçi ispatın büyük bölümünü daha bilindik terimlere çevirdiğinde, bunlardan biri ispatın mantığında "ciddi, düzeltilemez bir boşluk" olduğuna işaret etti - ancak Mochizuki onların argümanlarını, çalışmasını anlamadıkları gerekçesiyle reddetti.

Bu olay temel bir soruyu gündeme getiriyor: Matematiksel ispat nedir? Biz onu ebedi bir gerçeğin ifşası olarak düşünme eğilimindeyiz, ama belki de sosyal bir yapı olarak daha iyi anlaşılabilir.

Montreal Üniversitesi'nde matematikçi olan Andrew Granville, son zamanlarda bu konu üzerinde çok düşünüyor. Bir filozofun bazı yazıları hakkında kendisiyle temasa geçmesinin ardından, "Doğrularımıza nasıl ulaştığımızı düşünmeye başladım," diyor. "Ve bir kez o kapıyı zorlamaya başladığınızda, bunun uçsuz bucaksız bir konu olduğunu görüyorsunuz."

Granville küçük yaşlardan itibaren aritmetiği sevmiş ama matematik araştırmaları alanında bir kariyer yapmayı hiç düşünmemiş çünkü böyle bir şeyin varlığından haberi yokmuş. "Babam 14 yaşında, annem ise 15 ya da 16 yaşında okulu bırakmış," diyor. "O zamanlar Londra'nın işçi sınıfı bölgesinde doğmuşlar ve üniversite onların gözünde mümkün olanın çok ötesindeymiş. Bu yüzden hiçbir fikrimiz yoktu."

Matematik okuduğu Cambridge Üniversitesi'nden mezun olduktan sonra Martin Amis'in The Rachel Papers adlı romanını senaryoya uyarlamaya başladı. Proje üzerinde çalışırken ve proje için fon ararken, masa başı bir işe girmekten kaçınmak istedi - lise ve üniversite arasındaki bir yıl boyunca bir sigorta şirketinde çalışmıştı ve buna geri dönmek istemedi - "bu yüzden yüksek lisans eğitimi aldım" dedi. Film hiçbir zaman çekilemedi (roman daha sonra bağımsız olarak film haline getirildi), ancak Granville matematik alanında yüksek lisans derecesi aldı ve ardından doktorasını tamamlamak için Kanada'ya taşındı. Bir daha asla arkasına bakmadı.

"Bu gerçekten de bir maceraydı," dedi. "Pek bir beklentim yoktu. Doktoranın ne olduğunu gerçekten bilmiyordum."

O zamandan bu yana geçen on yıllar içinde, çoğu sayı teorisi alanında olmak üzere 175'ten fazla makale yazdı. Ayrıca halk kitleleri için matematik hakkında yazdığı yazılarla da tanınıyor: 2019 yılında, senarist olan ablası Jennifer ile birlikte asal sayılar ve ilgili kavramlar hakkında bir grafik roman yazdı. Geçtiğimiz ay, "doğrularımıza nasıl ulaştığımız" hakkındaki makalelerinden biri Annals of Mathematics and Philosophy dergisinde yayımlandı. Ve diğer matematikçiler, bilgisayar bilimcileri ve filozoflarla birlikte, gelecek yılki Bulletin of the American Mathematical Society'de makinelerin matematiği nasıl değiştirebileceğine dair bir makale koleksiyonu yayınlamayı planlıyor.

Quanta, Granville ile matematiksel ispatın doğası hakkında konuştu - ispatların pratikte nasıl çalıştığından, onlar hakkındaki popüler yanlış anlamalara ve yapay zeka çağında ispat yazımının nasıl gelişebileceğine kadar. Röportaj anlaşılır olması için düzenlenmiş ve kısaltılmıştır.

Yakın zamanda matematiksel ispatın doğası üzerine bir makale yayınladınız. Bunun hakkında yazmanın önemli olduğuna neden karar verdiniz?

Matematikçilerin nasıl araştırma yaptıkları popüler medyada genellikle iyi tasvir edilmiyor. İnsanlar matematiği, sadece saf düşünceyle büyük gerçeklere ulaştığımız saf bir arayış olarak görme eğilimindeler. Ama matematik tahminlerle ilgilidir - çoğu zaman yanlış tahminlerle. Deneysel bir süreçtir. Aşama aşama öğreniriz.

Örneğin, Riemann hipotezi 1859'da bir makalede ilk kez ortaya çıktığında, sihir gibiydi: İşte bu inanılmaz varsayım, hiçbir yerde yok. İnsanlar 70 yıl boyunca büyük bir düşünürün salt düşünceyle neler yapabileceğini konuştular. Sonra matematikçi Carl Siegel, Göttingen arşivlerinde Riemann'ın karalama notlarını buldu. Riemann aslında Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının sayfalarca hesaplamasını yapmıştı. Siegel'in ünlü sözleri şöyleydi: "Sadece saf düşünce buraya kadarmış."

İnsanların matematik hakkında yazdıklarında bir gerilim var - özellikle de bazı filozof ve tarihçilerin. Bizim saf büyülü bir yaratık, bilimin tek boynuzlu atı olduğumuzu düşünüyor gibiler. Ama tipik olarak öyle değiliz. Matematik nadiren tek başına saf düşüncedir.

Matematikçilerin yaptığı işi nasıl tanımlarsınız?

Matematik kültürü tamamen ispatla ilgilidir. Oturup düşünürüz ve yaptığımız işin %95'i ispattır. Kazandığımız anlayışın çoğu ispatlarla boğuşmaktan ve onlarla boğuşurken ortaya çıkan sorunları yorumlamaktan geliyor.

Bir ispatı genellikle matematiksel bir argüman olarak düşünürüz. Bir dizi mantıksal adımla, verilen bir ifadenin doğru olduğu gösterilir. Ancak bunun saf, nesnel gerçekle karıştırılmaması gerektiğini yazıyorsunuz. Bununla ne demek istiyorsunuz?

Bir ispatın ana noktası, okuyucuyu bir iddianın doğruluğuna ikna etmektir. Bu da doğrulamanın kilit önemde olduğu anlamına gelir. Matematikte sahip olduğumuz en iyi doğrulama sistemi, birçok insanın bir ispata farklı açılardan bakması ve bildikleri ve inandıkları bir bağlama iyi uymasıdır. Bir anlamda, bunun doğru olduğunu bildiğimizi söylemiyoruz. Doğru olduğunu umduğumuzu söylüyoruz, çünkü pek çok insan bunu farklı açılardan denedi. Kanıtlar bu topluluğun standartlarına göre kabul edilir.

Bir de nesnellik kavramı var - iddia edilen şeyin doğru olduğundan emin olmak, nihai bir gerçeğe sahip olduğunuzu hissetmek. Ama objektif olduğumuzu nasıl bilebiliriz? Kendinizi bir açıklama yaptığınız bağlamın dışına çıkarmak - toplum tarafından yerleştirilen paradigmanın dışında bir bakış açısına sahip olmak zordur. Bu, diğer her şey için olduğu kadar bilimsel fikirler için de geçerlidir.

Matematikte nesnel olarak neyin ilginç ya da önemli olduğu da sorulabilir. Ancak bu da açıkça özneldir. Neden Shakespeare'in iyi bir yazar olduğunu düşünüyoruz? Shakespeare kendi döneminde bugün olduğu kadar popüler değildi. Açıkçası neyin ilginç, neyin önemli olduğuna dair toplumsal kurallar var. Bu da mevcut paradigmaya bağlı.

Matematikte bu neye benziyor?

Paradigma değişikliğinin en ünlü örneklerinden biri kalkülüstür. Kalkülüs icat edildiğinde, sıfıra doğru giden bir şeyi sıfıra doğru giden başka bir şeye bölmeyi içeriyordu - bu da sıfırın sıfıra bölünmesine yol açıyordu ki bunun hiçbir anlamı yoktu. Başlangıçta Newton ve Leibniz sonsuz küçükler adı verilen nesneler buldular. Bu onların denklemlerinin çalışmasını sağladı, ancak bugünün standartlarına göre mantıklı ya da titiz değildi.

Artık 19. yüzyılın sonunda ortaya atılan epsilon-delta formülasyonuna sahibiz. Bu modern formülasyon, bu kavramları doğru anlamak için o kadar şaşırtıcı ve açık bir şekilde iyi ki, eski formülasyonlara baktığınızda, "ne düşünüyorlardı ki?" diyorsunuz. Ama o zamanlar, bunu yapmanın tek yolunun bu olduğu düşünülüyordu. Leibniz ve Newton'a karşı adil olmak gerekirse, muhtemelen modern yolu çok severlerdi. Kendi dönemlerinin paradigmaları yüzünden bunu yapmayı düşünmediler. Bu yüzden oraya varmak çok uzun zaman aldı.

Sorun şu ki, ne zaman böyle davrandığımızı bilmiyoruz. İçinde bulunduğumuz topluma hapsolmuş durumdayız. Hangi varsayımlarda bulunduğumuzu söyleyecek bir dış bakış açısına sahip değiliz. Matematikteki tehlikelerden biri de, kullanmayı seçtiğiniz dilde kolayca ifade edilemediği ya da tartışılamadığı için bir şeyin önemli olmadığını düşünebilmenizdir. Bu haklı olduğunuz anlamına gelmez.

Descartes'ın şu sözünü gerçekten çok seviyorum: "Bir üçgen hakkında bilinmesi gereken her şeyi bildiğimi düşünüyorum, ama bildiğimi kim söyleyebilir? Demek istediğim, gelecekte birisi radikal bir şekilde farklı bir bakış açısıyla ortaya çıkabilir ve bu da üçgen hakkında çok daha iyi bir düşünce tarzına yol açabilir." Ve bence haklı. Bunu matematikte de görebilirsiniz.

Makalenizde yazdığınız gibi, bir ispatı sosyal bir sözleşme olarak düşünebilirsiniz - yazar ve matematiksel toplulukları arasında bir tür karşılıklı anlaşma. Mochizuki'nin abc varsayımını ispatladığı iddiası ile bunun işe yaramadığının uç bir örneğini gördük.

Bu uç bir örnektir, çünkü Mochizuki oyunu oynandığı şekilde oynamak istememiştir. Belirsiz olmak için bu seçimi yaptı. İnsanlar gerçekten yeni ve zor fikirlerle büyük atılımlar yaptıklarında, fikirlerini mümkün olduğunca erişilebilir bir şekilde açıklayarak diğer insanları da dahil etmeye çalışmakla yükümlü olduklarını hissediyorum. O ise daha çok, eğer benim yazdığım şekilde okumak istemiyorsanız, bu benim sorunum değil, der gibiydi. Oynamak istediği oyunu oynama hakkına sahip. Ama bunun toplumla bir ilgisi yok. İlerleme kaydetme yöntemlerimizle bir ilgisi yok.

Eğer kanıtlar sosyal bir bağlamda var oluyorsa, zaman içinde nasıl değiştiler?

Her şey Aristoteles ile başlar. Bir tür tümdengelim sistemi olması gerektiğini söyledi - yeni şeyleri ancak zaten bildiğiniz ve emin olduğunuz şeylere dayandırarak, belirli " ilksel ifadelere" veya aksiyomlara geri dönerek kanıtlayabilirsiniz.

O zaman soru şu: Doğru olduğunu bildiğiniz bu temel şeyler nelerdir? Çok uzun bir süre boyunca insanlar sadece "çizgi çizgidir, daire dairedir" dediler; basit ve aşikar olan birkaç şey vardır ve bunlar başladığımız varsayımlar olmalıdır.

Bu bakış açısı sonsuza dek sürdü. Bugün de büyük ölçüde varlığını sürdürüyor. Ancak geliştirilen Öklid aksiyomatik sisteminin - "bir çizgi bir çizgidir" - sorunları vardı. Bertrand Russell tarafından keşfedilen ve küme kavramına dayanan paradokslar vardı. Dahası, matematiksel dille kelime oyunları oynanabiliyor, aksiyomatik sistemde sorunlar olduğunu gösteren "bu ifade yanlıştır" (doğruysa yanlıştır; yanlışsa doğrudur) gibi sorunlu ifadeler yaratılabiliyordu.

Böylece Russell ve Alfred Whitehead tüm bu sorunlardan kaçınabilecek yeni bir matematik sistemi yaratmaya çalıştılar. Ancak gülünç derecede karmaşıktı ve bunların başlamak için doğru ilkeller olduğuna inanmak zordu. Kimse bu konuda rahat değildi. 2+2=4'ü kanıtlamak gibi bir şey, başlangıç noktasından itibaren çok büyük bir alan kaplıyordu. Böyle bir sistemin ne anlamı vardı?

Sonra David Hilbert ortaya çıktı ve harika bir fikir ortaya attı: belki de hiç kimseye başlangıç için doğru şeyin ne olduğunu söylememeliydik. Bunun yerine, işe yarayan her şey - basit, anlamlı ve tutarlı bir başlangıç noktası - keşfedilmeye değerdir. Aksiyomlarınızdan birbiriyle çelişen iki şey çıkaramazsınız ve matematiğin çoğunu seçilen aksiyomlar açısından tanımlayabilmelisiniz. Ancak bunların ne olduğunu a priori söylememelisiniz.

Bu da matematikte nesnel doğrulukla ilgili daha önceki tartışmamıza uyuyor gibi görünüyor. Yani 20. yüzyılın başında matematikçiler çok sayıda aksiyomatik sistem olabileceğini fark ediyorlardı - verilen bir aksiyom kümesinin evrensel veya apaçık bir gerçek olarak alınmaması gerekir?

Doğru. Hilbert'in bunu soyut nedenlerle yapmaya başlamadığını söylemeliyim. Farklı geometri kavramlarıyla çok ilgiliydi: Öklid dışı geometri. Bu çok tartışmalıydı. O zamanki insanlar şöyle diyordu: "Eğer bana bir kutunun köşelerinden geçen bir çizgi tanımı verirsen, seni neden dinleyeyim ki? Hilbert ise eğer bunu tutarlı bir hale getirebilirse dinlemeniz gerektiğini, çünkü bunun anlamamız gereken başka bir geometri olabileceğini söyledi. Ve bakış açısındaki bu değişim -herhangi bir aksiyomatik sisteme izin verebileceğiniz- sadece geometri için geçerli değildi; tüm matematik için geçerliydi.

Ama tabii ki bazı şeyler diğerlerinden daha kullanışlıdır. Bu yüzden çoğumuz aynı 10 aksiyomla, ZFC adı verilen bir sistemle çalışırız.

Bu da ondan neyin çıkarılıp neyin çıkarılamayacağı sorusuna yol açmaktadır. Süreklilik hipotezi gibi ZFC kullanılarak kanıtlanamayan ifadeler vardır. 11. bir aksiyom olmalı. Ve bunu her iki şekilde de çözebilirsiniz, çünkü aksiyomatik sisteminizi seçebilirsiniz. Oldukça havalı. Bu tür bir çoğullukla devam ediyoruz. Neyin doğru, neyin yanlış olduğu belli değil. Kurt Gödel'e göre, hala zevke dayalı seçimler yapmamız gerekiyor ve umarım iyi bir zevke sahibizdir. Mantıklı şeyler yapmalıyız. Ve yapıyoruz da.

Gödel'den bahsetmişken, o da burada oldukça büyük bir rol oynuyor.

Matematiği tartışmak için bir dile ve bu dilde takip edilecek bir dizi kurala ihtiyacınız vardır. Gödel 1930'larda, dilinizi nasıl seçerseniz seçin, o dilde her zaman doğru olan ancak başlangıç aksiyomlarınızdan hareketle kanıtlanamayan ifadeler olduğunu kanıtladı. Aslında durum bundan daha karmaşıktır, ancak yine de bu felsefi ikilemle hemen karşılaşırsınız: Eğer gerekçelendiremiyorsanız doğru bir ifade nedir? Bu delilik.

Yani büyük bir karmaşa var. Yapabileceklerimiz sınırlı.

Profesyonel matematikçiler bunu büyük ölçüde görmezden geliyor. Yapılabilir olana odaklanıyoruz. Peter Sarnak'ın dediği gibi, "Biz çalışan insanlarız." Elimizden geleni yapmaya ve kanıtlamaya çalışırız.

Artık sadece bilgisayarların değil yapay zekanın da kullanılmasıyla kanıt kavramı nasıl değişiyor?

Bilgisayarların çılgınca şeyler yapabildiği farklı bir yere geçtik. Şimdi insanlar diyor ki, oh, bilgisayarımız var, insanların yapamayacağı şeyleri yapabilir. Ama yapabilir mi? İnsanların yapamadığı şeyleri gerçekten yapabilir mi? 1950'lerde Alan Turing, bir bilgisayarın insanların yapabildiklerini yapmak için tasarlandığını, sadece daha hızlı olduğunu söylemişti. Pek bir şey değişmedi.

On yıllardır matematikçiler bilgisayarları kullanıyorlar - örneğin anlayışlarına rehberlik edebilecek hesaplamalar yapmak için. Yapay zekanın yapabileceği yeni şey, doğru olduğuna inandığımız şeyleri doğrulamaktır. Kanıt doğrulama konusunda bazı müthiş gelişmeler yaşandı. Matematikçilerin birçok ispatı doğrulamasını sağlayan ve aynı zamanda yazarların kendi çalışmalarını daha iyi anlamalarına yardımcı olan [ispat asistanı] Lean gibi, çünkü bazı fikirlerini doğrulama için basit adımlara ayırarak Lean'e aktarmaları gerekiyor.

Ancak bu kusursuz mu? Bir kanıt sadece Lean onun bir kanıt olduğunu kabul ettiği için mi kanıttır? Bazı açılardan, ispatı Lean için girdiye dönüştüren insanlar kadar iyidir. Bu da bizim geleneksel matematiği nasıl yaptığımıza çok benziyor. Yani Lean gibi bir şeyin çok fazla hata yapacağına inandığımı söylemiyorum. Sadece insanlar tarafından yapılan çoğu şeyden daha güvenli olduğundan emin değilim.

Korkarım bilgisayarların rolü konusunda çok fazla şüpheciyim. İşleri doğru yapmak için çok değerli bir araç olabilirler - özellikle de ilk bakışta analiz edilmesi kolay olmayan yeni tanımlara dayanan matematiği doğrulamak için. Cephaneliğimizde yeni bakış açılarının, yeni araçların ve yeni teknolojilerin olmasının yararlı olduğu konusunda hiçbir tartışma yok. Ancak benim uzak durduğum şey, artık doğru teoremler üreten mükemmel mantıksal makinelere sahip olacağımız fikridir.

Bilgisayarlarla her şeyin doğru olduğundan emin olamayacağımızı kabul etmelisiniz. Geleceğimiz, bilim tarihi boyunca güvendiğimiz topluluk duygusuna dayanmak zorunda: birbirimizden bir şeyler öğreniyoruz. Aynı şeye tamamen farklı bir perspektiften bakan insanlarla konuşuyoruz. Ve böyle devam edecek.

Bu teknolojiler daha sofistike hale geldikçe bunun gelecekte nereye ulaşabileceğini düşünüyorsunuz?

Belki de bir kanıt oluşturmaya yardımcı olabilecektir. Belki beş yıl sonra ChatGPT gibi bir yapay zeka modeline "Bunu bir yerde gördüğüme eminim. Kontrol eder misin?" diye sorduğumda bana doğruluğuna emin olduğum benzer bir ifade ile geri dönecek.

Ve bu konuda çok çok iyi olduğunda, belki bir adım daha ileri gidebilir ve "Bunu nasıl yapacağımı bilmiyorum, ama böyle bir şey yapan biri var mı?" diyebilirsiniz. Belki de eninde sonunda bir yapay zeka modeli, bir matematikçinin öngöremeyeceği bir şekilde, başka yerlerde kullanılmış araçları ortaya çıkarmak için literatürde arama yapmanın verimli yollarını bulabilir.

Ancak ChatGPT'nin nasıl olup da belli bir seviyenin ötesine geçip bizi geride bırakacak şekilde ispat yapabildiğini anlamıyorum. ChatGPT ve diğer makine tabanlı öğrenme amaçlı programlar düşünmüyor. Birçok örneğe dayanan kelime ilişkilendirmelerini kullanıyorlar. Dolayısıyla kullandıkları verileri aşmaları pek olası görünmüyor. Ama bu gerçekleşirse matematikçiler ne yapacak? Yaptığımız şeylerin çoğu ispat. Eğer kanıtları elimizden alırsanız, kime dönüşeceğimizden emin değilim.

Ne olursa olsun, bilgisayar yardımını nereye götüreceğimizi düşündüğümüzde, insan çabalarından öğrendiğimiz tüm dersleri dikkate almamız gerekir: farklı diller kullanmanın, birlikte çalışmanın, farklı bakış açıları taşımanın önemini. Farklı toplulukların bir kanıt üzerinde çalışmak ve onu anlamak için bir araya gelmelerinde bir sağlamlık, bir sağlık vardır. Eğer matematikte bilgisayar yardımı alacaksak, bunu aynı şekilde zenginleştirmemiz gerekir.

Not: Quanta’nın Granville ile gerçekleştirdiği bu röportaj, https://www.quantamagazine.org adlı siteden alınmış ve www.felsefearenasi.com.tr editörleri tarafından Türkçeye çevrilmiştir:

https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/?fbclid=IwAR0imySoCJo7lM_H_3AFWNEQbx_VnyQbvnKDEVbOQWmKWJ67bfmmgyTrBXU